تحقیق در مورد کاربرد معادلات پیوستگی مدلی برای احتراق سوختهای دوپایه 12 ص با فرمت ورد

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 12

بسمه تعالی

موضوع تحقیق :کاربرد معادلات پیوستگی

تهیه کننده :علی فرودی

کد کلاس 3 - 1

مدلی برای احتراق سوختهای دوپایه

چکیده:

سوختهای دوپایه مواد همگنی هستند که از اختلاط نیتروسلولز و نیتروگلیسیرین (باجایگیری مولکول های نیتروگلیسرین روی زنجیره های مولکولی نیتروسلولز ) و اندکی افزودنی های دیگر بدست می آیند و یک مخلوط همگن را شکل می دهند. هر دو جزء اصلی سوختهای دوپایه قابل انفجار می باشند. در این نوع سوختهای جامد توزیع سوخت و اکسیدان کاملا" همگن و یکنواخت است، یعنی درکنار هر واحد ساختمانی از سوخت یک مولکول از اکسیدان می باشد تا فرآیند احتراق انجام گیرد. شرایط حاکم بر احتراق در ارتباط مستقیم با پارامترهایی مانند سرعت سوزش، انرژی سوخت و دمای نواحی احتراق می باشد. در این مقاله مدلی برای احتراق سوختهای دوپایه بررسی می گردد تا ارتباط سرعت سوزش با فشار محفظه، دمای ناحیة FIZZ ZONE و مقدار انرژی سوخت مشخص گردد.

1- مقدمه

احتراق واکنش بین دو جزء سوخت و اکسید کننده است که با آزاد سازی انرژی همراه می باشد. در فرآیند احتراق، ناحیه ای از سوخت که در آن واکنش های شیمیایی رخ می دهد و با مصرف شدن مولکول های سوخت ( Reactant) مولکول های محصولات ناشی از احتراق  ( Product ) تولید می شوند، ناحیة شعله (جبهه شعله یا موج احتراقی Flame  front) نام دارد. در این ناحیه واکنش های سریع شیمیایی موجب آزاد شدن نور و حرارت می گردد.

فرآیند احتراق بر اساس نحوة شکل گیری شعلة آن، شامل دو نوع کلی زیر است :

· شعلة Premixed: در این شعله، مواد سوخت و اکسید کننده قبل از رسیدن به جبهه احتراق بطور کامل با یکدیگر مخلوط (حالت پیش مخلوط )می شوند.

· شعلة Diffusion: دراین شعله اجزاء در حین عبور از ناحیة شعله در یکدیگر منتشر و مخلوط می شوند.

سوختهای دوپایه از اجزاء نیتروسلولز و نیتروگلیسیرین تشکیل شده اند که به دلیل هموژن بودن آنها شعلة Premixed را ایجاد می کنند. کاربرد این سوختها از دهة 1940 میلادی توسعه یافته و تاکنون ادامه دارد.

از احتراق سوختهای دوپایه چند ناحیه احتراقی تشکیل می گردد که در شکل (1) نواحی مختلف حاصل از سوزش سوخت های دوپایه نشان داده شده است. در احتراق این نوع از سوختها پنج ناحیه جداگانه تشکیل می شود. که دوناحیه در فاز جامد وسه ناحیه آن در فاز گاز قرار دارد. نواحی فاز جامد عبارتند از ناحیه پیش گرم (Preheated  Zone) و ناحیه خمیری 

شکل1- نواحی احتراق در یک سوخت جامد دوپایه

(Foam Zone).  ناحیه پیش گرم در واقع همان ناحیه ای از فاز جامد ( سوخت) است که درمعرض غیر مستقیم حرارت ناشی از جبهة احتراق (‌شعله) قراردارد،  ولی هنوز جبهه شعله به آن نرسیده است، بنابراین این سطح هنوز هیچگونه فعل و انفعالی ندارد. ناحیه خمیری مرز بین فاز گاز وجامد است. جبهه شعله با پیشروی در این ناحیه سطح جامد را خمیری می کند، از مشخصات این ناحیه تجزیه سوخت وافزایش ناگهانی درجه حرارت آن است. تجزیه سوخت در این ناحیه با هم گسیختگی  انرژی زای باند    CO-NO2 شروع می شود و همزمان با این اتفاق تجزیه دیگر اجزاء نیز شروع شده و ترکیباتی از NO2 و NO از سطح درحال سوزش پدید می آید فرآیند تجزیه فوق غالباً - درناحیه احتراق – یک  فرآیند گرماز است.نواحی فاز گازی عبارتند از سه منطقة :  ناحیة  فیــز( Fizz zone )، ناحیه سیاه (Dark zone) و ناحیة لومینوس (Luminous zone). مهمترین ناحیه FIZZ ZONE می باشد که تغییر در آن معمولاً بیشترین تأثیر را بر خواص بالستیکی سوخت و انرژی آن دارد در این مقاله مدلی برای احتراق سوختهای دوپایه پیشنهاد و ارتباط سرعت سوزش با فشار محفظه، دمای FIZZ ZONE و مقدار انرژی سوخت مشخص می گردد و انطباق آن با نتایج تجربی بررسی می شود. ]1[، ]2[، ]3[، ]7[

2- تحلیل تئوری احتراق سوختهای جامد

تحقیقات انجام شده روی احتراق سوختهای جامد باعث درک اتفاقاتی شده است که درفاز گاز و فازجامد روی سطح سوزش سوخت جامد انجام می گیرد.بر این اساس دو دیدگاه کلی در مورد سوختهای مرکب وجود دارد:

 در دیدگاه  اول از اثر فاز جامد روی احتراق سوخت جامد صرفنظر می گردد.

در دیدگاه دوم اثر فاز جامد به صورت جدی وارد مدلهای ریاضی شده است.

در دیدگاه اول فقط فاز گاز مد نظراست و صرفا" معادلات انرژی و بقای جرم حل می گردد ولی در دیدگاه دوم هم فاز جامد وهم فاز گاز مدل شده است و معادلات بقاء برای احتراق فاز جامد و گاز ابتدا خطی شده وسپس با اعمال شرایط مرزی مناسب حل می گردد. لازم به ذکر است که در تمام این معادلات برای  «نرخ پسروی سطح سوزش » از« قانون آرهنیوس»  استفاده می گردد، مدلهای فاز گازی می توانند روند سوزش  و پارامترهای وابسته به آن را پیش بینی کنند ولی  نمی توانند اثرات پارامترهائی چون «اثر ذرات ریز فلزی و توزیع آنها »را توجیه کنند، همچنین مدلهای فاز گازی نمی توانند اثرات پارامترهای زیر را پیش بینی کنند:

الف) اثر تغییر بایندر روی نرخ پسروی سطح درحال سوزش ( Changing the binder )

ب) دمای سطح در حال سوزش ( The surface temperature )  

ج) آزاد سازی انرژی فاز جامد ( Condensed phase heat release )

د) حساسیت نرخ سوزش به تغییرات دما ( Temperature sensitivity )

ه) اثر کاتالیست ها( The   effects  of catalysts ) 

و) تغییرات n بافشار (r  :  سرعت سوزش (نرخ پیشروی جبهة احتراق )که بصورت / است )

از سوی دیگر مدلهائی نیز که براساس فازجامد بنا شده است، قابلیت مدل سازی انرژی آزاد شده از فاز جامد و نیز حساسیت نرخ سوزش نسبت به دما و اثرات کاتالیست ها را دارند ولی نمی توانند بستگی سرعت پسروی سطح سوخت به فشار را توجیه کنند. Summerfield  و همکارانش در سال1960 مدلی بنام GRANULAR DIFFUSION FLAME ارائه کردند. در این مدل فرض بر آنست که حرارت لازم برای ادامه احتراق سطح درحال سوزش  از شعلة نفوذی (DIFFASION FLAME) روی مرز که از بخارات سوخت و اکسیدان ایجاد شده است به وجود می آید. سرعت احتراق با مکانیزم نفوذ درحین اختلاط بخارات سوخت و اکسیدکننده و واکنش همگن در فاز گاز مرتبط است. دراین مکان سطح سوزش خشک فرض می گردد.  رابطه ای که مطابق با این مدل برای نرخ سوزش استخراج می گردد عبارتست از : / که ثابت های نیمه تجربی a و b به « واکنش همگن درفاز گاز» و «نرخ نفوذ» مربوط است. این تئوری در مقادیر زیر 100 bar نتایج خوبی نشان می دهد.

3- معادلات حاکم بر احتراق سوخت های جامد

در این بخش سعی برآنست تا معادلات حاکم برمدل احتراق سوختهای جامد ارائه گردد به این منظور ابتدا یکسری فرضیات جهت ساده سازی ومدلسازی ریاضی انجام می گیرد که در زیربه آنها اشاره می شود:

الف) مسئله به صورت یک بعدی بررسی می گردد، احتراق فاز گاز به صورت آرام (LAMINAR ) فرض می شود، عمود برمقطع میدان جریان خواص ثابت فرض می شود، چون بررسی حالت گذرا که میدان جریان از آرام به متلاطم (TURBULENT) انتقال می یابد بسیار مشکل است .

تحقیق در مورد حد و پیوستگی 9 ص

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

دسته بندی : وورد

نوع فایل :  .doc ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحه : 9 صفحه

 قسمتی از متن .doc : 

حد و پیوستگی:

تعریف حد

مقدار ثابت a حد متغیر x است هرگاه به ازای هر عدد مثبت کوچک که قبلا به طور مشخص تعیین گردیده است بتوان مقداری از متغیر x را چنان تعیین کرد که جمیع مقادیر در نامساوی صدق کند. اگر a حد متغیر x باشد گوییم متغیر x به سوی حد a میل می‌کند و بر حسب قرداد آن را به یکی از صورتهای زیر می‌نویسیم:

تعبیر هندسی حد

مقدار ثابت a حد متغیر x است (یعنی L=a) هرگاه برای هر همسایگی کوچک که مرکز آن a و شعاع آن و است و این همسایگی قبلا بطور غیر مشخصی تعیین گردیده است مقداری از x را چنان تعیین نمود که جمیع نقاط متناظر به مقادیر بعدی متغیر در داخل این فاصله قرار گیرند.

خواص حد

مقدار ثابت c متغیری است که جمیع مقادیر آن بر یکدیگر منطبق است یعنی x=c. واضح است که حد مقدار ثابت c برابر c است زیرا همواره برای هر عدد مثبت و دلخواه نامساوی زیر برقرار است:

از تعریف حد نتیجه می‌گردد که متغیر نمی‌تواند دارای دو حد باشد زیرا اگر و باشد در این صورت متغیر x باید در یک زمان در دو نامساوی و صدق کند. ولی اگر باشد خواهیم دید که این امر امکان ندارد.

نباید تصور نمود که هر متغیر دارای حد می‌باشد.

حد یک تابع :

فرض می‌کنیم تابع در همسایگی معینی از نقطه a و یا در برخی نقاط این همسایگی معین باشد. اگر x به سوی a میل کند تابع به سوی حد b میل خواهد نمود، هرگاه به ازای هر عدد مثبت کوچک بتوان عدد مثبتی مانند غیر از a یافت به قسمی که جمیع مقادیر x که در نامساوی صدق می‌کنند در نامساوی نیز صدق کنند. اگر b حد تابع هنگامیکه باشد در اینصورت خواهیم نوشت:

قضایایی درباره حد

اگر m و b و a سه عدد دلخواه باشند و ، آنگاه

قضیه حد مجموع: حد مجموع دو تابع برابر مجموع حدهای آن دوتابع است، مشروط بر اینکه حدها وجود داشته باشند.

قضیه حد حاصلضرب: حد حاصلضرب دو تابع مساوی حاصلضرب حدهای آنهاست، مشروط بر اینکه حدها وجود داشته باشند.

قضیه حد تفاضل: حد تفاضل دو تابع مساوی تفاضل حدهای آن دو تابع است، مشروط بر اینکه حدها وجود داشته باشد.

حد حاصلضرب یک عدد ثابت در یک تابع ، برابر است با حاصلضرب آن عدد ثابت در حد آن تابع.

حد خارج قسمت دو تابع ، خارج قسمت حدهای آنهاست به شرطی که مخرج به صفر نگراید.

این ویژگیها برای حدهای راست و برای حدهای چپ نیز صادق است.

اگر و ، آنگاه:

اگر f و g به ازای جمیع مقادیر x در نامساوی صدق کنند. اگر f و g در x=a حد داشته باشند، آنگاه

قضیه حد تابع مرکب: اگر تابع g در دارای حد a و تابع f در a دارای حد A باشد. به علاوه ، اگر در همسایگی از داشته باشیم ، آنگاه تابع مرکب fog در دارای حد A است.

حد در بی‌نهایت

تابع f و عدد L مفروض‌اند. اگر باشد، آنگاه L را حد تابع f ، وقتی x به سمت بی‌نهایت مثبت میل می‌کند، می‌گویند.

دانلود مقاله درباره بررسی عوامل مشترک معماری و موسیقی و پیوستگی های آن 18 ص (فنی مهندسی-معماری)

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 21

بررسی عوامل مشترک معماری و موسیقی و پیوستگی های آن

هنر پویا پیوسته در جست و جوی راه های تازه ای برای دستیابی به ابتکارات گونه گون است و همان گونه که هر هنری در روند خود از شرایط زمان و مکان و اجتماع و دیگر عوامل تاثیر می پذیرد ، هنرها در رابطه با یکدیگر نیز به طور مستقیم و یا غیر مستقیم تاثیرپذیرند و بازتاب آن را از هر سو که باشد در قلمرو خاص خود نشان می دهند و بر ظرفیت و کارآیی خود می افزایند .

جست و جوی عوامل مشترک هنرها خود یکی از روشهایی است که می تواند این تاثیرپذیری را آگاهانه افزایش دهد و ابتکارات تازه ای را سبب شود . آنچه در زیر به اختصار می آید از این مقوله است . بررسی یکی از عوامل ناپیدا و ناشناخته بین دو هنر کهن ، ( معماری و موسیقی ) از دیدگاهی خاص که هنر واسطه ای ( مانند شعر ) در تکوین این رابطه نقش اساسی داشته است .

همه ی هنر ها به طور عرضی با هم مرتبط هستند چرا که منشأ همه ی آنها تجلی زیبایی است . این زیبایی در معماری و مجسمه سازی نیز به شکل نسبت های طول و عرض و ارتفاع اتفاق می افتد .

در یک چهره تناسبات هستند که زیبایی می آفرینند . گاهی هم تناسبات رنگها باعث ایجاد زیبایی می شود . که در آنجا هم مجموعه ی فرکانس های نوری ، تناسبات دلپذیری را بوجود می آورند . در موسیقی هم نسبت های صوتی به زیبایی متحد می شوند . نسبت هایی که به تناسب می رسند تناسب گاهی در وج دیداری است و گاهی در وجه شنیداری . در مورد برپایی و بساوایی هم چیزهایی ذکر می شود . بنابراین همه ی هنرها یک وجه دارند و آن وجهی است که با هندسه ی دل فا از قبل طراحی شده است .

ما روی یک پاره خط تنها یک نقطه را پیدا می کنیم که موجزترین نسبت را به ما بدهد . ایجاز در همه هنرها یکی از شروط است .

در نقطه ای که ما پیدا می کنیم نسبت کل پاره خط به بخش بزرگ ، برابر است با نسبت بخش بزرگ به بخش کوچک و این نسبت عدد فی را به ما می دهد . که اصطلاحاً به آن نسبت الهی گفته می شود . یعنی اینکه ما با این قاعده ی الهی مواجه هستم که هر چیزی از یک یعنی وجه حقیقی عالم و وحدت حقیقی عالم نشأت بگیرد ، برای ما زیباست . بعد از عدد یک عددهای دو و سه هستند . تمام گام های موسیقی از این هر عدد حاصل می شوند . وقتی که وارد مبحث ریتم می شویم با هر ضربی یا سه ضربی مواجه هستیم . اصلاً ریتمی از این قاعده خارج نیست . وقتی ریتم ترکیبی می شود حاصل ضرب عددهای دو و سه است و وقتی که ریتم مختلط می شود حاصل جمع این دو عدد است ( البته با ترتیب های متنوع و مختلف ) . وقتی ما از یک که نقطه ای توحید عالم است به سمت کثرت حرکت می کنیم ابتدا با دو و سه مواجه هستیم . در معماری هم با فرکانس های نوری که طول و عر ض و ارتفاع را تعریف می کنند ، سر و کار داریم . و زمانی که این سه به موجزترین شکل واقع شود ، شما احساس زیبایی می کنید . و این تناسبات در اکثر آثار بزرگ معماری وجود دارد . جالب این که این تناسبات در بدن انسان ، آناتومی پرندگان و درختان و همه جای طبیعت به همان نسبت الهی وجود دارد .

کدام بنا به الهامات موسیقایی بیشتری به شما می دهد ؟

مولانا می فرماید : سایه دیوار و سقف هر مکان سایه اندیشه معماردان .

نسبت در ساختمان به دو گونه اتفاق می افتد ، گاهی ما نمای ساختمان را می بینیم و گاهی ما در داخل ساختمان واقع می شویم و حس داخلی ساختمان را درک می کنیم که به آن حس محیطی گفته می شود . معماری ایجاد فضای مادی و معنوی می کند ولی موسیقی فقط فضای مادی و معنوی می کند ولی موسیقی فقط فضای معنوی ایجاد می کند ، به عبارت دیگر موسیقی معماری زمان است و معماری موسیقی مکان از جمله مکانهایی که ایجاد فضای مادی و معنوی می کند می توان به خانه ی کعبه و مسجد حضرت رسول ( ص ) و مسجد شیخ لطف الله در اصفهان اشاره کرد .

فضا و کارکرد آن در معماری و موسیقی

فضا ، هم به جایگاه و مکان ، و هم به محیطی عاطفی و روحی ، و هم به اتمسفر Atmosphere یا جو ، و یا جایگاه اثیری اطلاق گردد . در تمام هنرها ایجاد نوعی فضای عاطفی و روحی ، یکی از هدف های آفرینندگان هنرمند است .

در هنر معماری ، فضا ، منزلتی خاص دارد – معمار هنرمند نیز چون دیگر آفرینندگان هنر ، قادر است با ایجاد فضاهای گونه گون ، همان تأثیرات عاطفی و روحی را القاء کند که مثلا موسیقی دان به مدد الحان و سازها ایجاد می کند . همچنان که یک قطعه موسیقی می تواند تحت تاثیر ‹‹ فونوسفر phonosphere ›› یا فضای صوتی ، فضایی روحی ، سرشار از جذبه های معنوی و آسمانی بیافریند ، و یا همانطور که یک قطعه شعر ، قادر است فضایی سخت عرفانی و اشراقی و الهی ایجاد کند ، بنای یک مسجد با آن مناره های سربر آسمان افراشته ، و کشیدگی اضلاع یک کلیسا که گویی سیر به تعالی و عروج را می نمایاند نیز قادر هستند در بیننده صاحب ایمان ، فضایی سرشار از جذبه های مذهبی و معنوی ایجاد کنند . به قول ‹‹ ایانیس زناکیس ›› ‹‹ چه بخواهیم و چه نخواهیم بین معماری و موسیقی پیوند هست – این مسئله مبتنی به ساختارهای ذهنی ما است که در این هر دو هنر یکی است ›› .

در طبقه بندی هنرها معماری جزو هنرهایی به شمار آمده است که هم می تواند زیبا باشد و هم مفید . شوپنهاور معتقد است که : ‹‹ معماری یک نوع مصالحه میان زیبایی و سودبخشی است ›› . ‹‹ گوته ›› گفته است معماری یعنی موسیقی جامد شده ›› . کار معمار ، یا آفریننده بنا ، ایجاد هم آهنگی میان استواری و نااستواری ، سنگینی و سبکی – زبری و نرمی است . در حقیقت معمار از یک سو باید احساس تعالی ، ترحم ، عدالت و فقر را القاء کند و از سوی دیگر اشراقیت و مالداری و اعیانیت و تازه به دوران رسیدگی را بنمایاند . و در تمام این موارد موظف است لطائف و ظرائف و سنت های هنری را نیز از نظر دور ندارد .

مقاله درباره حد و پیوستگی 9 ص

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 9

حد و پیوستگی:

تعریف حد

مقدار ثابت a حد متغیر x است هرگاه به ازای هر عدد مثبت کوچک که قبلا به طور مشخص تعیین گردیده است بتوان مقداری از متغیر x را چنان تعیین کرد که جمیع مقادیر در نامساوی صدق کند. اگر a حد متغیر x باشد گوییم متغیر x به سوی حد a میل می‌کند و بر حسب قرداد آن را به یکی از صورتهای زیر می‌نویسیم:

تعبیر هندسی حد

مقدار ثابت a حد متغیر x است (یعنی L=a) هرگاه برای هر همسایگی کوچک که مرکز آن a و شعاع آن و است و این همسایگی قبلا بطور غیر مشخصی تعیین گردیده است مقداری از x را چنان تعیین نمود که جمیع نقاط متناظر به مقادیر بعدی متغیر در داخل این فاصله قرار گیرند.

خواص حد

مقدار ثابت c متغیری است که جمیع مقادیر آن بر یکدیگر منطبق است یعنی x=c. واضح است که حد مقدار ثابت c برابر c است زیرا همواره برای هر عدد مثبت و دلخواه نامساوی زیر برقرار است:

از تعریف حد نتیجه می‌گردد که متغیر نمی‌تواند دارای دو حد باشد زیرا اگر و باشد در این صورت متغیر x باید در یک زمان در دو نامساوی و صدق کند. ولی اگر باشد خواهیم دید که این امر امکان ندارد.

نباید تصور نمود که هر متغیر دارای حد می‌باشد.

حد یک تابع :

فرض می‌کنیم تابع در همسایگی معینی از نقطه a و یا در برخی نقاط این همسایگی معین باشد. اگر x به سوی a میل کند تابع به سوی حد b میل خواهد نمود، هرگاه به ازای هر عدد مثبت کوچک بتوان عدد مثبتی مانند غیر از a یافت به قسمی که جمیع مقادیر x که در نامساوی صدق می‌کنند در نامساوی نیز صدق کنند. اگر b حد تابع هنگامیکه باشد در اینصورت خواهیم نوشت:

قضایایی درباره حد

اگر m و b و a سه عدد دلخواه باشند و ، آنگاه

قضیه حد مجموع: حد مجموع دو تابع برابر مجموع حدهای آن دوتابع است، مشروط بر اینکه حدها وجود داشته باشند.

قضیه حد حاصلضرب: حد حاصلضرب دو تابع مساوی حاصلضرب حدهای آنهاست، مشروط بر اینکه حدها وجود داشته باشند.

قضیه حد تفاضل: حد تفاضل دو تابع مساوی تفاضل حدهای آن دو تابع است، مشروط بر اینکه حدها وجود داشته باشد.

حد حاصلضرب یک عدد ثابت در یک تابع ، برابر است با حاصلضرب آن عدد ثابت در حد آن تابع.

حد خارج قسمت دو تابع ، خارج قسمت حدهای آنهاست به شرطی که مخرج به صفر نگراید.

این ویژگیها برای حدهای راست و برای حدهای چپ نیز صادق است.

اگر و ، آنگاه:

اگر f و g به ازای جمیع مقادیر x در نامساوی صدق کنند. اگر f و g در x=a حد داشته باشند، آنگاه

قضیه حد تابع مرکب: اگر تابع g در دارای حد a و تابع f در a دارای حد A باشد. به علاوه ، اگر در همسایگی از داشته باشیم ، آنگاه تابع مرکب fog در دارای حد A است.

حد در بی‌نهایت

تابع f و عدد L مفروض‌اند. اگر باشد، آنگاه L را حد تابع f ، وقتی x به سمت بی‌نهایت مثبت میل می‌کند، می‌گویند.

مقاله درباره حد و پیوستگی 21 ص

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 23

موسسه علامه قطب راوندی

عنوان

حد و پیوستگی

استاد راهنما:

جناب آقای عابدی

تهیه کنندگان:

فاطمه جولائی- الهه رستگاری

الهام هادوی- مینا داوودی

تابستان 1386

حد و پیوستگی

حد متغیر، متغیر X و عدد ثابت a را در نظر می گیریم اگر x بی نهایت به a نزدیک شود (از سمت چپ یا راست) بطوریکه فاصله x تا a از هر عدد بسیار کوچکی مانند e ( اپسیلون) کمتر شود ولی x بر a منطبق نگردد در آنصورت می گویند x به سمت a میل می کند و یا به عبارت دیگر، حد x برابر a میباشد، که در شکل زیر نشان داده شده است:

0<x-a|

شکل

حد تابع: تابع fa= حد در نظر می گیریم اگر x به سمت a میل شد یعنی بی نهایت به a نزدیک شود آنصورت تابع (x)f ممکن است به سمت عددی مانند L، بی نهایت نزدیک شود که به آن، حد تابع می گویند و به صورت زیر نشان میدهند:

( حد f(x) وقتی که xبه سمت a میل میکند برابر با L است) limy=lim f(x)= L

مثال) تابع y=x+1 در نظر می گیریم. اگر x به عدد 3 نزدیک شود، y به عدد 4 نزدیک میگردد. نزدیک شدن x به 3 از دو سو امکان پذیر است، یکی اینکه با مقادیر کمتر از 3 (از سمت چپ) به سمت 3 میل کند و دیگر آنکه با مقادیر بزرگتر از 3 (از سمت راست) به سمت 3 میل میکند که در جدول زیر نشان داده شده است:

2/1

1/1

01/1

0001/1

999/1

99/1

9/1

2/2

x

2/4

1/4

01/4

0001/4

999/3

95/3

9/3

8/3

y

فرض کنیم تابع f در بازه باز (a,) تعریف شده باشد، عدد L را حد چپ f(x) در نقطه x0 می نامند. اگر بتوان f(x) را به هر اندازه دلخواه به L نزدیک کرد، به شرطی که عدد مثبت x-را به قدر کافی به صفر نزدیک کنیم و در این صورت می نویسند:

Lim(f)= L

نکته:

وقتی نوشته میشود lim f(x)=L به مقادیر x در بازه باز (a,) توجه داریم، نه خود و شرط اولیه وجود حد چپ در آن است که تابع در یک بازه بازی مانند (a,) تعریف شده باشد.

مثال: تابع f با ضابطه f(x)=[x] را در نظر می گیریم با توجه به نمودار تابع می توان نوشت:

Lim f(x)=1

Y

2

1

x -1

2 1

فرض کنیم f تابعی باشد که به ازای هر x از بازه باز (,b( تعریف شده باشد، عدد L را حد راست f(x) در نقطه می نامیم اگر بتوان f(x) را به هر اندازه دلخواه به L نزدیک کرد، به شرطی که عدد مثبت x- را به قدر کافی به صفر نزدیک کنیم. در این صورت می نویسند:

Lim f(x)=L

نکته:

وقتی نوشته میشود lim f(x)=L به مقادیر x درباره (,b) توجه داریم، نه خود و شرط اولیه وجود حد راست در آن است که تابع در یک بازه بازی مانند (,b) تعریف شده باشد.

مثال: تابع f را در نظر می گیریم.

y

x 1 0 -1

حد تابع در یک نقطه

منظور از حد تابع r(x) در نقطه x=a این است که حد چپ و راست تابع r(x) را در این نقطه بدست آوریم و در این دو حد با هم برابر شدند تابع f(x) در دارای حد میباشد علامت lim f(x) نمایش می دهیم بنابراین داریم:

Lim r(x)=lim r(x)= lim r(x)

توجه داشته باشیم که یک تابع در نقطه x=a در صورتی حد چپ یا راست دارد که حد بدست آمده، یک عدد حقیقی باشد نه موهومی.

مثال 1) حد تابع r(x) را وقتی x=1 بدست آورید.

حل)

Lim r(x)= lim (3x)= 3*1=3 حد چپ تابع r(x)

Lim r(x)=lim r(x)=3

Lim r(x)=lim (x+2)= 1+2=3 حد راست تابع r(x)

بنابراین حد تابع فوق وقتی x=1 برابر با 3 میباشد یعنی:

Lim r(x)=3