تحقیق درباره ارشمیدس دانشمند ریاضیdoc word

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 4

ارشمیدس

ارشمیدس دانشمند و ریاضیدان یونانی در سال 212 قبل از میلاد در شهر سیراکوز یونان چشم به جهان گشود و در جوانی برای آموختن دانش به اسکندریه رفت بیشتر دوران زندگیش را در زادگاهش گذرانید و با فرمانروای این شهر دوستی نزدیک داشت.

در اینجا سخن از معروفترین استحمامی است که یک انسان در تاریخ بشریت انجام داده است در داستانها چنین آمده است که بیش از 2000 سال پیش در شهر سیراکوز پایتخت ایالت یونانی سیسیل آن زمان ارشمیدس مکانیکدان و ریاضیدان و مشاور دربار پادشاه یمرون یکی از معروفترین کشفهای خود را در خزینه حمام انجام داد روزی که او در حمامی عمومی به داخل خزینه پا نهاد و در آن نشست و حین این کار بالا آمدن آب خزینه را مشاهده کرده ناگهان فکری به مغزش خطور کرد او بلافاصله لنگی را به دور خود پیچید و با این شکل و شمایل به سمت خانه روان شد و مرتب فریاد می زد یافتم یافتم، او چه چیزی را یافته بود؟ پادشاه به او ماموریت داده بود راز جواهر ساز خیانتکار در بار را کشف و او را رسوا کند شاه هیرون بر کار جواهر ساز شک کرده بود و چنین می پنداشت که او بخشی از طلایی را که برای ساختن تاج شاهی به وی داده بود برای خود برداشته و باقی آن را با فلز ))نقره[ که بسیار ارزانتر بود مخلوط کرده و تاج را ساخته است هر چند ارشمیدس می دانست که فلزات گوناگون وزن مخصوص متفاوت دارند ولی او تا آن لحظه این طور فکر می کرد که مجبور است تاج شاهی را ذوب کندآنرا به صورت شمش طلا قالب ریزی کند تا بتواند وزن آن را با شمش طلای نابی به همان اندازه مقایسه کند اما در این روش تاج شاهی از بین می رفت پس او مجبور بود راه دیگری برای این کار بیابد در آن روز که در خزینه حمام نشسته بود دید که آب خزینه بالاتر آمد و بلافاصله تشخیص داد که بدن او میزان معینی از آب را در خزینه حمام پس زده و جا به جا کرده است.

او با عجله و سراسیمه به خانه بازگشت و شروع به آزمایش عملی این یافته کرد او چنین اندیشید که اجسام هم اندازه، مقار آب یکسانی را جا به جا می کنند ولی اگر از نظر وزنی به موضوع نگاه کنیم یک شمش نیم کیلویی طلا کوچکتر از یک شمش نقره به همان وزن است«طلا تقریباٌ‌ دو برابر نقره وزن دارد) بنابراین باید مقدار کمتری آب را جا به جا کند این فرضیه ارشمیدس بود و آزمایشهای او این فرضیه را اثبات کرد او برای این کار نیاز به یک ظرف آب و سه وزنه با وزنهای مساوی داشت که این سه وزنه عبارت بودند از تاج شاهی هم وزن آن طلای ناب و دوباره هم وزن آن نقره ناب او در آزمایش خود تشخیص داد که تاج شاهی میزان بیشتری آب را نسبت به شمش طلای هم وزنش پس می راند ولی این میزان آب کمتر از میزان آبی است که شمش نقره هم وزن آن را جا به جا می کند به این ترتیب ثابت شد که تاج شاهی از طلای ناب و خالص ساخته نشده بلکه جواهر ساز متقلب و خیانتکار آن را از مخلوطی از طلا و نقره ساخته است و به این ترتیب ارشمیدس یکی از چشمگیرترین رازهای طبیعت را کشف کرد آن هم اینکه می توان وزن اجسام سخت را با کمک مقدار آبی که جا به جا می کنند اندازه گیری کرد این قانون«وزن مخصوص) را که امروزه به آن چگالی می گویند اصل ارشمیدس می نامند. حتی امروز هم هنوز پس از 23 قرن بسیاری از دانشمندان در محاسبات خود متکی به این اصل هستند.

به هر حال ارشمیدس در رشته ریاضیات از ظرفیتهای هوشی بسیار والا و چشمگیری برخوردار بود او منجنیقهای شگفت آوری برای دفاع از سرزمینهای خود اختراع کرد که بسیار سودمند افتاد او توانست سطح و حجم جسمهایی مانند کره، استوانه و مخروط را حساب کند و روش نوینی برای اندازه گیری در دانش ریاضی پدید آورد همچنین بدست آوردن عدد نیز از کارهای گرانقدر وی است او کتابهایی در باره خصوصیات و روشهای اندازه گیری اشکال و احجام هندسی از قبیل مخروط منحنی حلزونی و خط مارپیچ، سهمی، سطح کره «ماده غذایی» و استوانه می دانست علاوه بر آن او قوانینی در باره سطح شیب دار، پیچ اهرم و مرکز ثقل کشف کرد.

ارشمیدس در مورد خودش گفته ای دارد که با وجود گذشت قرنها جاودان مانده و آن این است «نقطه اتکایی به من بدهید، من زمین را از جا بلند خواهم کرد» عین همین اظهار به صورت دیگری در متون ادبی زبان یونانی از قول ارشمیدس نقل شده است اما مفهوم در هر دو صورت یکی است. ارشمیدس هم چون عقاب گوشه گیری و منزوی بود در جوانی به مصر مسافرت کرد و مدتی در شهر اسکندریه به تحصیل پرداخت و در این شهر دو دوست قدیمی یافت یکی کونون(این شخص ریاضیدان قابلی بود که ارشمیدس چه از لحاظ فکری و چه از نظر شخصی برای وی احترام بسیار داشت) و دیگری اراتوستن که گر چه ریاضیدان لایقی بود اما مردی سطحی به شمار می رفت که برای خویش احترام خارق العاده ای قائل بود.

ارشمیدس با کونون ارتباط و مکاتبه دائمی داشت و قسمت مهم و زیبایی از آثار خویش را در این نامه ها با او در میان گذاشت و بعدها که کونون درگذشت ارشمیدس با دوسته که از شارگردان کونون مکاتبه می کرد.

یکی از روشهای نوین ارشمیدس در ریاضیات به دست آوردن عدد بود وی برای محاسبه عدد پی، یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن روشی به دست داد و ثابت کرد که عدد محصور مابین 7/1 3 و 71/10 3 است گذشته از آن روشهای مختلف برای تعیین جذر تقریبی اعداد به دست داد و از مطالعه آنها معلوم می شود که وی قبل از ریاضی دانان هندی با کسر های متصل یا مداوم متناوب آشنایی داشته است.

در حساب روش غیر عملی و چند عملی یونانیان را که برای نمایش اعداد از علائم متفاوت استفاده می کردند، به کنار گذاشت و پیش خود دستگاه شمارشی اختراع کرد که به کمک آن ممکن بود هر عدد بزرگی را بنویسیم و بخوانیم.

دانش تعادل مایعات بوسیله ارشمیدس کشف شد و وی توانست قوانین آنرا برای تعیین وضع ))تعادل اجسام غوطه ور به کار برد.

همچنین برای اولین بار برخی از اصول ««مکانیک را به وضوح و دقت بیان کرد و قوانین اهرم را کشف کرد.

در سال 1906 ج.ل. هایبرگ مورخ دانشمند و متخصص تاریخ ریاضیات یونانی در شهر قسطنطنیه موفق به کشف مدرک با ارزشی شد. این مدرک کتابی است به نام قضایای مکانیک و روش آنها که ارشمیدس برای دوست خود اراتوستن فرستاده بود. موضوع این کتاب مقایسه حجم یا سطح نامعلوم شکلی با احجام و سطوح معلوم اشکال دیگر است که بوسیله آن ارشمیدس موفق به تعیین نتیج مطلوب می شد. این روش یکی از عناوین افتخار ارشمیدس است که ما را مجاز می دارد که وی را به مفهوم صاحب فکر جدید و امروزی بدانیم، زیرا وی همه چیز و هر چیزی را که استفاده از آن به نحوی ممکن بود به کار می برد تا بتواند به مسائلی که ذهن او را مشغول می داشتند حمله ور گردد دومین نکته ای که ما را مجاز می دارد که عنوان متجدد به ارشمیدس بدهیم روشهای محاسبه اوست. وی دو هزار سال قبل از اسحاق نیوتن و لایب نیتس موفق به اختراع حساب انتگرال شد و حتی در حل یکی از مسائل خویش نکته ای را به کار برد که می توان او را از پیش قدمان فکر ایجاد حساب دیفرانسیل دانست.

زندگی ارشمیدس با آرامش کامل می گذشت همچون زندگی هر ریاضیدان دیگری که تامین کامل داشته باشد و بتواند همه ممکنات هوش و نبوغ خود را به مرحله اجرا درآورد زمانی که رومیان در سال 212 قبل از میلاد شهر سیراکوز را به تصرف خود درآوردند سردار رومی مارسلوس دستور داد که هیچ یک از سپاهیانش حق اذیت و آزار و توهین و ضرب و جرح این دانشمند ومتفکر مشهور و بزرگ را ندارند با این وجود ارشمیدس قربانی غلبه رومیان بر شهر سیراکوز شد او به وسیله یک سرباز مست رومی به قتل رسید و این در حالی بود که در میدان بازار شهر در حال اندیشیدن به یک مسئله ریاضی بود، می گویند آخرین کلمات او این بود: دایره های مرا خراب نکن. به این ترتیب بود که زندگی ارشمیدس بزرگترین دانشمند تمام دوران ها خاتمه پذیرفت این ریاضیدان بی دفاع 75 ساله در 278 قبل از میلاد به جهان دیگر رفت.

نیروی ارشمیدس

آیا تاکنون فکرکرده اید که چرا برخی چیزها درون آب شناور هستند امابرخی دیگر ته آب میافتند؟

یا چرا چوب روی آب شناور ولی یک میخ آهنی ته ظرف آب می افتد و یااینکه آیا امکان دارد یک قطعه آهن شناوربماند تمامی این موضوعات به نیرویی مربوط می شود که ارشمیدس دانشمند یونان باستان کشف کرده است.

نیروی ارشمیدس چیست ؟

وقتی جسمی را درون یک شاره مثلا یک لیوان آب می اندازیم اگر جسم تماما درون آب فرو رود به مقدار حجم خود آب را جابجا می کند به نیروی وزن این مقدار آب جابجا شده نیروی ارشمیدس گویند که همیشه رو به بالاست و از رابطه ی زیر بدست می آید:

دقت کنید که در این رابطه چگالی شاره و vحجم شاره جابجا شده است که مساوی است باحجم قسمتی از جسم که داخل شاره است و gشتاب گرانشی است حال سوالی مطرح می شود و آن اینکه چه شرایطی لازم است تا یک جسم در یک شاره شناور شود ؟ می دانیم در به هر جسمی در یک میدان گرانشی نیروی وزن وارد می شود و به جسم درون شاره حداقل دو نیروی ارشمیدس و نیروی گرانش وارد می شود می دانیم که نیروی گرانش همیشه روبه پایین و نیروی ارشمیدس (نیروی شناوری) همیشه روبه بالا هرگاه این دو نیرو برابر باشند جسم درون آب غوطه ور می شود ولی فرق شناوری و غوطه وری چیست ؟ وقتی می گوییم جسمی شناور است که در سطح آب باشد اما جسم غوطه ور میتواند در هر جای شاره باشدبه طور مثال خود آب درون خود شناور است.

وقتی نیروی ارشمیدس از نیروی وزن بیشتر باشد جسم روی سطح آزاد شاره شناور می شود و وقتی نیروی وزن جسم از نیروی ارشمیدس بیشتر باشد جسم درون شاره غرق می شود.

ارشمیدس 9 ص

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 9

ارشمیدس

مقدمه ارشمیدس دانشمند و ریاضیدان یونانی در سال 212 قبل از میلاد در شهر سیراکوز یونان چشم به جهان گشود و در جوانی برای آموختن دانش به اسکندریه رفت بیشتر دوران زندگیش را در زادگاهش گذرانید و با فرمانروای این شهر دوستی نزدیک داشت. در اینجا سخن از معروفترین استحمامی است که یک انسان در تاریخ بشریت انجام داده است در داستانها چنین آمده است که بیش از 2000 سال پیش در شهر سیراکوز پایتخت ایالت یونانی سیسیل آن زمان ارشمیدس مکانیکدان و ریاضیدان و مشاور دربار پادشاه یمرون یکی از معروفترین کشفهای خود را در خزینه حمام انجام داد روزی که او در حمامی عمومی به داخل خزینه پا نهاد و در آن نشست و حین این کار بالا آمدن آب خزینه را مشاهده کرده ناگهان فکری به مغزش خطور کرد او بلافاصله لنگی را به دور خود پیچید و با این شکل و شمایل به سمت خانه روان شد و مرتب فریاد می زد یافتم یافتم، او چه چیزی را یافته بود؟ پادشاه به او ماموریت داده بود راز جواهر ساز خیانتکار در بار را کشف و او را رسوا کند شاه هیرون بر کار جواهر ساز شک کرده بود و چنین می پنداشت که او بخشی از طلایی را که برای ساختن تاج شاهی به وی داده بود برای خود برداشته و باقی آن را با فلز ))نقره[ که بسیار ارزانتر بود مخلوط کرده و تاج را ساخته است هر چند ارشمیدس می دانست که فلزات گوناگون وزن مخصوص متفاوت دارند ولی او تا آن لحظه این طور فکر می کرد که مجبور است تاج شاهی را ذوب کندآنرا به صورت شمش طلا قالب ریزی کند تا بتواند وزن آن را با شمش طلای نابی به همان اندازه مقایسه کند اما در این روش تاج شاهی از بین می رفت پس او مجبور بود راه دیگری برای این کار بیابد در آن روز که در خزینه حمام نشسته بود دید که آب خزینه بالاتر آمد و بلافاصله تشخیص داد که بدن او میزان معینی از آب را در خزینه حمام پس زده و جا به جا کرده است. او با عجله و سراسیمه به خانه بازگشت و شروع به آزمایش عملی این یافته کرد او چنین اندیشید که اجسام هم اندازه، مقار آب یکسانی را جا به جا می کنند ولی اگر از نظر وزنی به موضوع نگاه کنیم یک شمش نیم کیلویی طلا کوچکتر از یک شمش نقره به همان وزن است«طلا تقریباٌ‌ دو برابر نقره وزن دارد) بنابراین باید مقدار کمتری آب را جا به جا کند این فرضیه ارشمیدس بود و آزمایشهای او این فرضیه را اثبات کرد او برای این کار نیاز به یک ظرف آب و سه وزنه با وزنهای مساوی داشت که این سه وزنه عبارت بودند از تاج شاهی هم وزن آن طلای ناب و دوباره هم وزن آن نقره ناب او در آزمایش خود تشخیص داد که تاج شاهی میزان بیشتری آب را نسبت به شمش طلای هم وزنش پس می راند ولی این میزان آب کمتر از میزان آبی است که شمش نقره هم وزن آن را جا به جا می کند به این ترتیب ثابت شد که تاج شاهی از طلای ناب و خالص ساخته نشده بلکه جواهر ساز متقلب و خیانتکار آن را از مخلوطی از طلا و نقره ساخته است و به این ترتیب ارشمیدس یکی از چشمگیرترین رازهای طبیعت را کشف کرد آن هم اینکه می توان وزن اجسام سخت را با کمک مقدار آبی که جا به جا می کنند اندازه گیری کرد این قانون«وزن مخصوص) را که امروزه به آن چگالی می گویند اصل ارشمیدس می نامند. حتی امروز هم هنوز پس از 23 قرن بسیاری از دانشمندان در محاسبات خود متکی به این اصل هستند. به هر حال ارشمیدس در رشته ریاضیات از ظرفیتهای هوشی بسیار والا و چشمگیری برخوردار بود او منجنیقهای شگفت آوری برای دفاع از سرزمینهای خود اختراع کرد که بسیار سودمند افتاد او توانست سطح و حجم جسمهایی مانند کره، استوانه و مخروط را حساب کند و روش نوینی برای اندازه گیری در دانش ریاضی پدید آورد همچنین بدست آوردن عدد نیز از کارهای گرانقدر وی است او کتابهایی در باره خصوصیات و روشهای اندازه گیری اشکال و احجام هندسی از قبیل مخروط منحنی حلزونی و خط مارپیچ، سهمی، سطح کره «ماده غذایی» و استوانه می دانست علاوه بر آن او قوانینی در باره سطح شیب دار، پیچ اهرم و مرکز ثقل کشف کرد. ارشمیدس در مورد خودش گفته ای دارد که با وجود گذشت قرنها جاودان مانده و آن این است «نقطه اتکایی به من بدهید، من زمین را از جا بلند خواهم کرد» عین همین اظهار به صورت دیگری در متون ادبی زبان یونانی از قول ارشمیدس نقل شده است اما مفهوم در هر دو صورت یکی است. ارشمیدس هم چون عقاب گوشه گیری و منزوی بود در جوانی به مصر مسافرت کرد و مدتی در شهر اسکندریه به تحصیل پرداخت و در این شهر دو دوست قدیمی یافت یکی کونون(این شخص ریاضیدان قابلی بود که ارشمیدس چه از لحاظ فکری و چه از نظر شخصی برای وی احترام بسیار داشت) و دیگری اراتوستن که گر چه ریاضیدان لایقی بود اما مردی سطحی به شمار می رفت که برای خویش احترام خارق العاده ای قائل بود. ارشمیدس با کونون ارتباط و مکاتبه دائمی داشت و قسمت مهم و زیبایی از آثار خویش را در این نامه ها با او در میان گذاشت و بعدها که کونون درگذشت ارشمیدس با دوسته که از شارگردان کونون مکاتبه می کرد. یکی از روشهای نوین ارشمیدس در ریاضیات به دست آوردن عدد بود وی برای محاسبه عدد پی، یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن روشی به دست داد و ثابت کرد که عدد محصور مابین 7/1 3 و 71/10 3 است گذشته از آن روشهای مختلف برای تعیین جذر تقریبی اعداد به دست داد و از مطالعه آنها معلوم می شود که وی قبل از ریاضی دانان هندی با کسر های متصل یا مداوم متناوب آشنایی داشته است. در حساب روش غیر عملی و چند عملی یونانیان را که برای نمایش اعداد از علائم متفاوت استفاده می کردند، به کنار گذاشت و پیش خود دستگاه شمارشی اختراع کرد که به کمک آن ممکن بود هر عدد بزرگی را بنویسیم و بخوانیم. دانش تعادل مایعات بوسیله ارشمیدس کشف شد و وی توانست قوانین آنرا برای تعیین وضع ))تعادل اجسام غوطه ور به کار برد. همچنین برای اولین بار برخی از اصول ««مکانیک را به وضوح و دقت بیان کرد و قوانین اهرم را کشف کرد. در سال 1906 ج.ل. هایبرگ مورخ دانشمند و متخصص تاریخ ریاضیات یونانی در شهر قسطنطنیه موفق به کشف مدرک با ارزشی شد. این مدرک کتابی است به نام قضایای مکانیک و روش آنها که ارشمیدس برای دوست خود اراتوستن فرستاده بود. موضوع این کتاب مقایسه حجم یا سطح نامعلوم شکلی با احجام و سطوح معلوم اشکال دیگر است که بوسیله آن ارشمیدس موفق به تعیین نتیج مطلوب می شد. این روش یکی از عناوین افتخار ارشمیدس است که ما را مجاز می دارد که وی را به مفهوم صاحب فکر جدید و امروزی بدانیم، زیرا وی همه چیز و هر چیزی را که استفاده از آن به نحوی ممکن بود به کار می برد تا بتواند به مسائلی که ذهن او را مشغول می داشتند حمله ور گردد دومین نکته ای که ما را مجاز می دارد که عنوان متجدد به ارشمیدس بدهیم روشهای محاسبه اوست. وی دو هزار سال قبل از اسحاق نیوتن و لایب نیتس موفق به اختراع حساب انتگرال شد و حتی در حل یکی از مسائل خویش نکته ای را به کار برد که می توان او را از پیش قدمان فکر ایجاد حساب دیفرانسیل دانست.

مقاله درمورد ارشمیدس، خوارزمی، گائوس

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 9

موضوع تحقیق:

شرح حال ریاضی دانان ایران وجهان

( ارشمیدس، خوارزمی، گائوس)

مقدمه:

داستان زندگی ریاضی دانان که ما در این کتاب شرح خواهیم داد این موضوع را نشان خواهد داد که یک نفر ریاضی دان می تواند، همچون دیگران، بشری عادی باشد و چه بسا فقیرتر و بدبخت تر از دیگران.

در روابط اجتماعی اغلب ریاضی دانان مردم عادی بوده اند، گرچه در بین ریاضی دانان اشخاص غیر عادی و صاحب حرکات غیر عادی وجود داشته است اما تعداد آنا نسبت به اشخاص غیر عادی که به تجارت یا مشاغل آزاد و غیره اشتغال دارند نیست.

روی هم رفته ریاضی دانان بزرگ مردان یا زنانی بوده اند صاحب همه قوا و نیروهایی که دیگران از آن برخوردارند، عموماً چابک و نیرومند و در خارج از ریاضیات به بسیاری چیزهای دیگر نیز کنجکاو بوده اند.

در مقام مبارزه کاملاً قبول مسئولیت می کردند، و این نکته را هم اضافه کنیم که ما بین آنان کسانی که دارای نبوغ خارق العاده بودند وجود داشته که دارای پستهای بالایی مانند وزارت و مدیران لایقی در رشته های مختلف بوده اند.

ریاضی دانان هرگز مردمانی آشفته و ژنده پوش نبوده اند، طبق آنچه در تاریخچه زندگی ایشان بر می خوریم آنان مانند سایر افراد جامعه به وضع سر و لباس خود توجه داشته اند.

بعضی از ایشان خیلی زیبا و شیک پوش بوده اند. بعضی دیگر لباس عادی می پوشیدند به طوری که جلب توجه کسی را نمی کرد.

ریاضی دانان بزرگ در تکامل فکر علمی و فلسفی نقشی ایفا کرده اند که اهمیت آن از نقش دانشمندان سایر علوم کمتر نیست بلکه دانشمندان سایر علوم به کمک ریاضیات کار خود را تکمیل نموده اند.

ارشمیدس:

ارشمیدس دانشمند و ریاضی دان یونانی در سال 212 قبل از میلاد در شهر سیراکوز یونان چشم به جهان گشود و در جوانی برای آموختن دانش به اسکندریه رفت. ارشمیدس بیشتر دوران زندگیش را در زادگاهش گذرانید و با فرمانروای این شهر دوستی نزدیک داشت. هنگامی که رومیها به سیراکوز حمله بردند، ارشمیدس منجنیقهای شگفت آوری برای دفاع از سرزمین خود اختراع کرد که بسیار سودمند افتاد او توانست سطح و حجم جسمهایی مانند کره- استوانه و مخروط را حساب کند و روش نوینی برای اندازه گیری در دانش ریاضی پدید آورد. همچنین بدست آوردن عدد( ) و وزن مخصوص اجسام از کارهای گرانقدر وی است. او بنیانگذار دو دانش استاتیک و هیدرواستاتیک است. ارشمیدس را بزرگترین دانشمند یونان باستان و پدر دانشهایی می شمارند که دکارت و لایب نیتس آنها را تکامل بخشیدند.

ارشمیدس برای تعیین مساحت اشکالمسطح و محدود به خطوط منحنی و احجام اجسامی که محدود به سطوح منحنی هستند روش های کلی بدست اورد و این روش ها را در مورد خاص بکار برد و به این وسیله توانست دستور سطح دایره و سطح و حجم کره و سطح قطعه ای از سهمی و سطح قسمتی از استوانه را که محصور ما بین دو پیچ متوالی منحنی هلیس( خطی منحنی است که بر استوانه ای رسم شود بطوری که در هر نقطه از آن خط مماس با امتداد ثابتی زاویه ثابتی تشکیل دهد. می توان این منحنی را با خواص دیگر ممتاز ساخت) واقع است بدست آورد. گذشته از ان حجم قطعه کروی ( مقصود حجم قسمتی از کره است که ما بین دو مقطع متوازی قرار دارد. روشی که امروزه در غالب کتب هندسه متوسطه بکار می رود بتقریب همان روش ارشمیدس است) و حجم حاصل از دوران مستطیل به دور یک ضلع ( استوانه) و حجم حاصل از دوران یک مثلث به دور یک ضلع ( یک یا دو مخروط) و بالاخره احجام حاصل از دوران سهمی و هذلولی و بیضی را بدور محورشان بدست آورد.

وی برای محاسبه عدد « » پی، یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن روشی بدست آورد و ثابت کرد که عدد محصور مابین 1 3 و 10 3 است.

7 71

گذشته از آن روشهای مختلف برای تعیین جذر تقریبی اعداد بدست داد و از مطالعه آنها معلوم می شود که وی قبل از ریاضی دانان هندی با کسرهای متصل یا مداوم متناوب آشنایی داشته است.