مقاله درمورد حد و پیوستگی

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 23

موسسه علامه قطب راوندی

عنوان

حد و پیوستگی

حد و پیوستگی

حد متغیر، متغیر X و عدد ثابت a را در نظر می گیریم اگر x بی نهایت به a نزدیک شود (از سمت چپ یا راست) بطوریکه فاصله x تا a از هر عدد بسیار کوچکی مانند e ( اپسیلون) کمتر شود ولی x بر a منطبق نگردد در آنصورت می گویند x به سمت a میل می کند و یا به عبارت دیگر، حد x برابر a میباشد، که در شکل زیر نشان داده شده است:

0<x-a|

شکل

حد تابع: تابع fa= حد در نظر می گیریم اگر x به سمت a میل شد یعنی بی نهایت به a نزدیک شود آنصورت تابع (x)f ممکن است به سمت عددی مانند L، بی نهایت نزدیک شود که به آن، حد تابع می گویند و به صورت زیر نشان میدهند:

( حد f(x) وقتی که xبه سمت a میل میکند برابر با L است) limy=lim f(x)= L

مثال) تابع y=x+1 در نظر می گیریم. اگر x به عدد 3 نزدیک شود، y به عدد 4 نزدیک میگردد. نزدیک شدن x به 3 از دو سو امکان پذیر است، یکی اینکه با مقادیر کمتر از 3 (از سمت چپ) به سمت 3 میل کند و دیگر آنکه با مقادیر بزرگتر از 3 (از سمت راست) به سمت 3 میل میکند که در جدول زیر نشان داده شده است:

2/1

1/1

01/1

0001/1

999/1

99/1

9/1

2/2

x

2/4

1/4

01/4

0001/4

999/3

95/3

9/3

8/3

y

فرض کنیم تابع f در بازه باز (a,) تعریف شده باشد، عدد L را حد چپ f(x) در نقطه x0 می نامند. اگر بتوان f(x) را به هر اندازه دلخواه به L نزدیک کرد، به شرطی که عدد مثبت x-را به قدر کافی به صفر نزدیک کنیم و در این صورت می نویسند:

Lim(f)= L

نکته:

وقتی نوشته میشود lim f(x)=L به مقادیر x در بازه باز (a,) توجه داریم، نه خود و شرط اولیه وجود حد چپ در آن است که تابع در یک بازه بازی مانند (a,) تعریف شده باشد.

مثال: تابع f با ضابطه f(x)=[x] را در نظر می گیریم با توجه به نمودار تابع می توان نوشت:

Lim f(x)=1

Y

2

1

x -1

2 1

فرض کنیم f تابعی باشد که به ازای هر x از بازه باز (,b( تعریف شده باشد، عدد L را حد راست f(x) در نقطه می نامیم اگر بتوان f(x) را به هر اندازه دلخواه به L نزدیک کرد، به شرطی که عدد مثبت x- را به قدر کافی به صفر نزدیک کنیم. در این صورت می نویسند:

Lim f(x)=L

نکته:

وقتی نوشته میشود lim f(x)=L به مقادیر x درباره (,b) توجه داریم، نه خود و شرط اولیه وجود حد راست در آن است که تابع در یک بازه بازی مانند (,b) تعریف شده باشد.

مثال: تابع f را در نظر می گیریم.

y

x 1 0 -1

حد تابع در یک نقطه

منظور از حد تابع r(x) در نقطه x=a این است که حد چپ و راست تابع r(x) را در این نقطه بدست آوریم و در این دو حد با هم برابر شدند تابع f(x) در دارای حد میباشد علامت lim f(x) نمایش می دهیم بنابراین داریم:

Lim r(x)=lim r(x)= lim r(x)

توجه داشته باشیم که یک تابع در نقطه x=a در صورتی حد چپ یا راست دارد که حد بدست آمده، یک عدد حقیقی باشد نه موهومی.

مثال 1) حد تابع r(x) را وقتی x=1 بدست آورید.

حل)

Lim r(x)= lim (3x)= 3*1=3 حد چپ تابع r(x)

Lim r(x)=lim r(x)=3

Lim r(x)=lim (x+2)= 1+2=3 حد راست تابع r(x)

بنابراین حد تابع فوق وقتی x=1 برابر با 3 میباشد یعنی:

Lim r(x)=3